결론부터 말하면, α+β=-b/a, αβ=c/a라는 공식 자체는 외우기 쉽지만, 이 식이 어디서 나왔는지를 모른 채 숫자만 대입하면 부호 실수나 변형식 계산에서 틀리기 쉽습니다. 이 글에서는 공식의 유도 과정과, 실전에서 자주 나오는 변형 문제까지 같이 정리합니다.
목차
- 근과 계수의 관계란?
- 공식은 어떻게 나오는가 (유도 과정)
- 이 개념이 헷갈리는 이유는
- 실전 예시 문제
- 요약
근과 계수의 관계란?
이차방정식 ax² + bx + c = 0 (단, a≠0)의 두 근을 α, β라고 할 때, 두 근을 직접 구하지 않고도 계수 a, b, c만으로 두 근의 합과 곱을 바로 알 수 있다는 것이 근과 계수의 관계입니다.
- 두 근의 합: α + β = -b/a
- 두 근의 곱: αβ = c/a
이 관계는 이차함수 y = ax² + bx + c가 x축과 만나는 두 점(x절편)이 있을 때, 그 두 x절편의 합과 곱을 의미하기도 합니다 — 이차방정식의 해와 이차함수의 x절편은 같은 대상을 다른 시각에서 보는 것입니다.
공식은 어떻게 나오는가 (유도 과정)
이 부분이 “공식만 외우면 틀리는 이유”와 직결됩니다. 직접 유도해 보면 부호를 왜 외워야 하는지가 명확해집니다.
두 근이 α, β이므로 이차방정식은 다음과 같이 인수분해됩니다.
a(x - α)(x - β) = ax² + bx + c
좌변을 전개하면:
a{x² - (α+β)x + αβ} = ax² - a(α+β)x + aαβ
이제 우변 ax² + bx + c와 계수를 비교합니다.
- x항 계수: -a(α+β) = b → α+β = -b/a
- 상수항: aαβ = c → αβ = c/a
x항 비교에서 좌변에 이미 마이너스(-)가 붙어 있었기 때문에, b와 비교하면 자연히 α+β = -b/a가 됩니다. 이 유도 과정을 한 번이라도 손으로 써 보면, 왜 마이너스가 붙는지 헷갈릴 일이 없습니다.
이 개념이 헷갈리는 이유는
- 부호 실수: 계수 비교 과정을 생략하고 공식만 암기하면, α+β=-b/a에서 마이너스를 빠뜨리고 b/a로 잘못 쓰는 경우가 가장 흔합니다.
- a가 1이 아닐 때: 2x² + 3x – 5 = 0처럼 이차항 계수가 1이 아니면 b/a, c/a 계산에서 분수 처리를 틀리기 쉽습니다.
- 변형식과 혼동: α²+β², (α-β)² 같은 변형식을 근의 공식으로 직접 구하려다 계산이 꼬이는 경우가 많습니다. 실전에서는 이렇게 씁니다 — α²+β² = (α+β)² – 2αβ 처럼, 합과 곱만으로 변형식을 만드는 항등식을 활용하면 근을 직접 구하지 않고도 답이 나옵니다.
실전 예시 문제
예시 1. 기본 적용
x² – 5x + 6 = 0의 두 근을 α, β라 할 때, α+β와 αβ를 구하면?
→ α+β = -(-5)/1 = 5, αβ = 6/1 = 6
(검산: (x-2)(x-3)=x²-5x+6이므로 두 근은 2, 3 → 합 5, 곱 6으로 일치)
예시 2. 이차항 계수가 1이 아닌 경우
2x² + 3x – 5 = 0의 두 근을 α, β라 할 때, α+β와 αβ는?
→ α+β = -3/2, αβ = -5/2
예시 3. 변형식 (실전형)
x² – 4x + 1 = 0의 두 근을 α, β라 할 때, α²+β²의 값은?
→ α+β = 4, αβ = 1
→ α²+β² = (α+β)² – 2αβ = 16 – 2 = 14
| 방정식 | α + β | αβ | 추가로 구한 값 |
|---|---|---|---|
| x² − 5x + 6 = 0 | 5 | 6 | 검산: 근 2, 3 |
| 2x² + 3x − 5 = 0 | −3/2 | −5/2 | — |
| x² − 4x + 1 = 0 | 4 | 1 | α² + β² = 14 |
요약
- 근과 계수의 관계: α+β = -b/a, αβ = c/a
- 이 공식은 a(x-α)(x-β)=ax²+bx+c를 전개해 계수를 비교하면 바로 나옵니다.
- 자주 틀리는 지점은 부호(마이너스), a가 1이 아닐 때의 분수 계산, 변형식 처리 세 가지입니다.
- 변형식(α²+β² 등)은 근을 직접 구하지 않고 합·곱만으로 계산하는 것이 실전에서 더 빠릅니다.